直積集合【direct product】積集合 / デカルト積

概要

直積集合（direct product）とは、複数の集合から一つずつ元を取り出して作った組を元とする集合。乗算記号「×」を用いてA×Bのように表記する。

数学の集合論で用いられる概念で、集合Aに含まれる元 { a₁, a₂, a₃, … } と集合Bに含まれる元 { b₁, b₂, b₃, … } を一つずつ使って（a₁,b₁）といった値の組を作り、そのすべての組み合わせを元とする集合である。

この値の組は値の登場順も区別する順序対と呼ばれるもので、（1,2）と（2,1）は異なる組であるとみなされる。このため、一般にA×BとB×Aは必ずしも一致するとは限らず、演算として「項の前後を入れ替えても同じ結果」になるという交換法則は成り立たない。

直積集合の例としてよく知られるのはトランプの図柄で、4つの絵柄（スート） { ♠, ♥, ♦, ♣ } の集合と、13のランク（数字・文字） { A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K } の集合のすべての元の組み合わせで52枚（4×13）の絵柄が構成されている。

直積集合は「直積」「積」「デカルト積」「積集合」などとも呼ばれるが、「積集合」は複数の集合のすべてに所属する元から成る集合（論理演算の論理積に相当）を指すこともある。直積集合との混同を避けるため、こちらは「共通集合」「共通部分」等と呼ばれることもある。

(2023.5.19更新)