補数【complement】余数

概要

補数（complement）とは、ある自然数をn進数(n進法)で表現した時に、足し合わせるとちょうど「nのべき乗」か「nのべき乗-1」になる自然数のうち、最小のもの。前者は「足すとちょうど桁が一つ増える数」で「基数の補数」と呼ばれる。後者は「足しても桁が増えない最大の数」で「減基数の補数」と呼ばれる。

例えば、10進数の65という数に足し合わせるとちょうど一つ桁上りする自然数は、足すと100になる35であり、（10進数における）「65に対する10の補数」という。また、足しても桁が増えない最大の数は、足すと99になる34であり、（10進数における）「65に対する9の補数」という。

1の補数 (one's complement)

ある自然数を2進数（2進法）で表現したときに、足し合わせるとすべての桁が1になる最大の数のことを「1の補数」という。足してもギリギリ桁が増えない最も大きな数である。

たとえば、「10010110」に対する1の補数は「1101001」であり、両者を足し合わせると「11111111」（8桁すべてが1）となる。コンピュータで取り扱う際には、各桁の0を1に、1を0にするビット反転によって求めることができ、それに1を加えたものは2の補数となる。

2の補数 (two's complement)

ある自然数を2進数（2進法）で表現した時に、足し合わせると桁が増える最小の数を「2の補数」という。足すと一桁増えて先頭の桁が1、残りの桁が0となる数である。

例えば、「10010110」に対する2の補数は「1101010」であり、両者を足し合わせると「100000000」（桁が一つ増えて既存の8桁がすべて0）となる。コンピュータで取り扱う際には元の数のビット反転によって求められる1の補数に1を足せば2の補数となる。コンピュータ上での負の整数の表現や減算の実装などによく用いられる。

(2024.6.23更新)