読み方：かいじょう

階乗【factorial】

概要

階乗とは、1からある自然数までのすべての整数を掛けた数。また、そのような計算。指定の数の末尾にエクスクラメーションマーク（!）をつけて「n!」のように書き表す。

正の整数nについて、1から順にnまでの整数をすべて掛け合わせた積である。例えば、4の階乗「4!」は $4 \times 3 \times 2 \times 1$ で24となる。0!は便宜的に1と定義される。n!のnの値がわずかに増えるだけで計算結果が非常に速く増大するという特徴がある。例えば、10!は3,628,800で、20!は約2.43×10¹⁸という巨大な数になる。

数学では順列、組み合わせの計算で多用される。n個のものからr個を取り出して並べる順列の数は $nPr = \frac{n_{!}}{(_{n - r)!}}$ 、n個のものからr個を選ぶ組み合わせの数は $nCr = \frac{n_{!}}{(_{n - r)! r!}}$ と簡潔に記述することができる。確率論においても事象の起こり方を数える基礎として頻繁に用いられる。

階乗は $n! = n \times (n - 1)!$ （ただしnは正）と再帰的に定義することができるため、プログラミングの再帰アルゴリズムの例としてよく用いられる。自身を呼び出す再帰関数を用いて、「引数が0なら1を返し、0より大きければ引数と自身を引数-1で呼び出した結果を乗算したものを返す」というシンプルなコードで階乗を計算することができる。