読み方：せんけいへんかん

線形変換【linear transformation】

線形変換とは？

ベクトル空間の要素を同じベクトル空間へ写す写像のうち、直線的（線形）な関係性を保ちながら変換するもの。加算とスカラー倍の二つの計算について順序を問わず適用できる変換手法で、数学や物理学、コンピュータグラフィックス、機械学習など幅広い分野で用いられる。

線形変換が満たすべき条件は二つある。一つは「加法性」で、二つのベクトルを足してから変換した結果が、それぞれを変換してから足した結果と等しくなることである。もう一つは「斉次性」（同次性）で、スカラー倍（実数倍）してから変換した結果が、変換してからスカラー倍した結果と一致することである。この二条件をまとめると、f（aX+bY） = af（X）+bf（Y）という式で表せる。

線形変換は数値が縦横に並んだ行列で表現することができる。有限次元のベクトル空間における線形変換は、必ず行列との積で書き表せる。変換の合成は行列の積に、逆変換は逆行列に対応する。コンピュータでの実装や計算がしやすく、複数の変換を一つの行列にまとめることも容易である。

身近な例として、2次元平面での回転、拡大・縮小、反転、剪断がある。たとえば点（x, y）を角度θだけ回転させる操作は、cosθ と sinθ を成分とする2×2行列を掛けることで実現できる。3DCGを応用したゲームや映像の制作では、3次元座標に対する線形変換（および平行移動を加えたアフィン変換）が物体の動きや視点の制御に用いられている。