基本情報技術者試験 - 令和5年7月修了 - 問4
通信回線を使用したデータ伝送システムにM/M/1の待ち行列モデルを適用すると，平均回線待ち時間，平均伝送時間，回線利用率の関係は，次の式で表すことができる。
回線利用率が0から徐々に増加していく場合，平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも最初に長くなるのは，回線利用率が幾つを超えたときか。
回線利用率が0から徐々に増加していく場合，平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも最初に長くなるのは，回線利用率が幾つを超えたときか。
| ア | 0.4 |
|---|---|
| イ | 0.5 |
| ウ | 0.6 |
| エ | 0.7 |
答え ： イ
分野 ： テクノロジ系 › 基礎理論 › 基礎理論 › 応用数学
解説 ：
M/M/1の待ち行列モデルとは，通信回線などの処理システムにおいて，データの到着や処理にかかる時間がランダムに変動する状況を，確率的にモデル化したものです。問題文の式によると，平均回線待ち時間は，平均伝送時間に「回線利用率÷（1－回線利用率）」を掛けたものとして表されます。
平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも長くなるのは，この「回線利用率÷（1－回線利用率）」の値が1より大きくなるときです。この式が1より大きくなる条件を求めるには，回線利用率をxとして，x÷（1－x）＞1という不等式を解きます。
両辺に（1－x）を掛けると（1－xが正の値である前提のもとで），x＞1－xとなり，これを整理すると2x＞1，つまりx＞0.5という条件が得られます。従って，回線利用率が0.5を超えたときに，平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも長くなり，正解は「イ」です。
不正解の選択肢は，この不等式の計算を誤ったり，別の基準（例えば0.4や0.6，0.7）で判断してしまったりした場合に出やすい値です。待ち行列の理論では，利用率が高くなるにつれて待ち時間が急激に増加していく（利用率が1に近づくと待ち時間が無限大に発散する）という特徴があり，この問題はその急増が始まる境目を求めるものといえます。
分野 ： テクノロジ系 › 基礎理論 › 基礎理論 › 応用数学
解説 ：
M/M/1の待ち行列モデルとは，通信回線などの処理システムにおいて，データの到着や処理にかかる時間がランダムに変動する状況を，確率的にモデル化したものです。問題文の式によると，平均回線待ち時間は，平均伝送時間に「回線利用率÷（1－回線利用率）」を掛けたものとして表されます。
平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも長くなるのは，この「回線利用率÷（1－回線利用率）」の値が1より大きくなるときです。この式が1より大きくなる条件を求めるには，回線利用率をxとして，x÷（1－x）＞1という不等式を解きます。
両辺に（1－x）を掛けると（1－xが正の値である前提のもとで），x＞1－xとなり，これを整理すると2x＞1，つまりx＞0.5という条件が得られます。従って，回線利用率が0.5を超えたときに，平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも長くなり，正解は「イ」です。
不正解の選択肢は，この不等式の計算を誤ったり，別の基準（例えば0.4や0.6，0.7）で判断してしまったりした場合に出やすい値です。待ち行列の理論では，利用率が高くなるにつれて待ち時間が急激に増加していく（利用率が1に近づくと待ち時間が無限大に発散する）という特徴があり，この問題はその急増が始まる境目を求めるものといえます。
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